Lineer cebirde iyi olan bir bakabilir mi ?

4 yıl

Teğmen

Konu Sahibi

Merhabalar, Lineer cebirde lineer dönüşümlere geldiğimde aklıma bir soru takıldı. Bir lineer dönüşümün lineer olduğunu anlamak için 2 tane koşul olduğunu tanım olarak veriyorlar ve öylece bırakıyorlar. Ama bu tanım nerden geliyor merak ettim.
Koşullar şunlardı :
1.) T(a+b) = T(a) + T(b)
2.) T(cx) = cT(x)
Bu iki koşul nerden geliyor ve nasıl uydurulmuş ?
Bu iki koşulu, 1. şartı ve 2. şartı ayrı ayrı koordinat sistemi üzerinde düşündüğüm de ha bu şart bu yüzden konulmuş gibi fikir yürütebiliyorum. Ama iki koşulu aynı anda düşününce pek mantıklı gelmiyor. Mesala 2. şartı sağlayıp 1. şartı sağlamayan bir örnek bulamadım. (bulursanız yazınız lütfen) Yani bu iki şartı koordinat sistemi üzerinde anlayabileceğim örnekler verebilir misiniz ? (mesala: "bak bu örnekte 1.şartı sağlanıyor ama 2. şart sağlanmıyor veya bak bu örnekte 2.şart sağlanıyor ama 1. şart sağlanmıyor. Bu yüzden de iki şartıda sağlamalı ki dönüşümümüz lineer olsun", diyebileceğiniz örnekler varsa yazınız lütfen )

Cevaplarınızı bekliyorum arkadaşlar.

U

umit.evleksiz

4 yıl

Er

Bunun üzerinde biraz kafa yormuştum, 2. koşuldaki c değerinin rasyonel sayı olduğu durumları 1den elde edebiliyoruz ancak irrasyonel olduğu durumlar için herhangi bir çıkarım yapılamıyor diye hatırlıyorum. Klasik düşünce yapımızla birini sağlayan diğerini sağlamayan transformasyon bulmak çok zor. Daha derin matematiksel konulara giriyor.

Rasyonel sayılar alanında olsaydık 1. koşul 2. koşulu gerektirirdi bu arada. Ancak biz her alanda geçerli genel bir tanım yazdığımız için sadece bu örneği düşünerek 2. koşulu atamayız tanımdan.

Mathstackexchange'de şunları buldum:

https://math.stackexchange.com/questions/1836862/importance-of-the-homogeneity-assumption-in-definition-of-linear-map

https://math.stackexchange.com/questions/3352877/what-does-the-definition-of-a-linear-transformation-say

Ayrıca yararlı bir yazı:

https://math.stackexchange.com/questions/1551192/definitions-of-linearity-across-branches-of-mathematics-or-levels-of-math-educ

Bu mesaja 1 cevap geldi.

U

umit.evleksiz

4 yıl

Er

https://math.stackexchange.com/questions/2132215/a-real-function-which-is-additive-but-not-homogenous

U

umit.evleksiz

4 yıl

Er

https://drive.google.com/file/d/1L3KpjbRNXb21Ql7BECVHg1eMjOSAYyjS/view?usp=sharing
Anlaşılmazsa ve zaman bulabilirsem rastgele gibi görünen bu işlemlere hangi motivasyonla hangi sezgi ile giriştiğimizi açıklayabilirim 😂
Lineer cebir en sevdiğim matematik alanlarından, matematik anlatmayı çok seviyorum ancak henüz lineer cebir anlatımı yapmadım 😄😄

Bu mesaja 1 cevap geldi.

Bu mesajda bahsedilenler: @murat5885

U

umit.evleksiz

4 yıl

Er

Evet öyle. Birkaç video bırakayım:
https://www.youtube.com/watch?v=ozwodzD5bJM
https://www.youtube.com/watch?v=TgKwz5Ikpc8
https://www.youtube.com/watch?v=72GtkP6nP_A

Ancak çarpma işlemi toplama işlemi üzerinden tanımlanmıyor. Sezgisel olarak çarpmanın tekrarlı toplanması fikrini veren şey "Distributive Law".
Matematiksel olarak sıralama bu ancak insani keşif sürecinde tabi ki çarpma başlangıçta tekrarlı toplama olarak zihinlerde yer ediniyor daha sonra formal kalıba en uygun* sokmanın yolu olarak sayı aksiyomları ortaya çıkarılıyor.

*Gün geçtikçe tanımlar çoğu zaman daha geneli kapsayacak şekilde değiştiriliyor.

Benim bildiğim durum bu :)

Bu mesaja 1 cevap geldi.

Bu mesajda bahsedilenler: @murat5885

M

murat5885

4 yıl

Teğmen

Konu Sahibi

öncelikle elinize saglik, tesekkur ederim cevaplariniz icin. Ben videolari bi analiz edip anlamaya calisayim.

O çarpma islemini de ilkokulda elmalari saydirirken tanimlamisti hoca 😂 demek ki yanlis giden bir seyler varmis.

Lineer cebiri seviyorum dediniz, acaba yazilimla mi ilgileniyorsunuz ?

Bunun haricinde lineer cebiri ogrenmeye calisiyorum, demistim. Konulardan determinanta geldim. (Konularia khanacedemy'den calisiyorum) 2x2 determinantini gayet iyi anladim. Ancak 3x3 gelince neyin nerden geldigini gostermeden direkt 2x2 determinata indirgeyen bir formul ile 3x3'i cözdü. (https://tr.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix-transformations/inverse-of-matrices/v/linear-algebra-3x3-determinant?modal=1) nxn de ayni sekilde cozdu. Acaba dedim bu formul nereden geldi, internetten baktim ama bulamadim, gozumden mi kacti bilemiyorum. Ben de size bir sorayim dedim. Bu formulu nasil buldular ?
Yokza bu soruyu baska bir konu acip mi sorsaydim?
Umarim zamaniniz vardir 😀

< Bu ileti Android uygulamasından atıldı > Bu mesaja 1 cevap geldi.

Bu mesajda bahsedilenler: @umit.evleksiz

M

murat5885

4 yıl

Teğmen

Konu Sahibi

Bugün tekrar 3x3 determinantların nerelerden geldiğini araştırayım dedim, aklıma youtube'dan takip ettiğim Fuat Serkan Orhan hocamızın kanalı geldi. Orada bu videosunu buldum:
https://www.youtube.com/watch?v=-WMqGxzmq1Y&list=PL4bZBI_tvM9DOZZY0kKeWZCu3RHsd1x38&index=52
Çok güzel anlatmış. Yani 3x3 determinatları bulurken neden 2x2'in determinatını kullandığımızı ispat etmiş. Bu videoda yaptığı, mantık olarak kafama oturdu.
Bir de bu ispatı 2x2 de deniyeyim dedim, onda da doğru sonuç verdi.

Bunu paylaşmamın nedeni, hem bu bilgiyi paylaşayım hem de aklıma gelen diğer soruyu sorayım, dedim.

Sorum:
Bu ispat bize neyi verdi ? (3x3) için bilindik derterminant bulma yönteminin sonucunu ile bu ispatın sonucunu karşılaştırarak doğruluğunu kanıtladık.
Yani bu 3x3'i bilindik yöntemin sonucu ile bu ispatın sonucunu karşılatırıp doğrulunu kanıtlayabiliyoruz peki 4x4 için ne yapacağız ? Bilindik yöntemin doğruluğunu kanıtlamak için illa bu ispatı uygulayıp o bilindik yöntemin sonucu ile karşılaştırmamız mı lazım ?

Biz bu ispatı kullanarak 2x2, 3x3 ve 4x4 'e ... uygulayıp sonuçlara bakarak aradaki örüntüyü (bağlantıyı) nasıl açıklarız ki nxn uyguladığımızda da bilindik yöntem ile karşılaştırınca doğru sonuç vereceğini anlıyabilelim ?
Yani bu ispatı nasıl genelliyeceğiz ?

Bu mesaja 1 cevap geldi.

M

murat5885

4 yıl

Teğmen

Konu Sahibi

@Can Ozan merhaba hocam, öncelikle ricamı geri çevirmediğiniz için teşekkür ederim.
Karmaşık sayılar hakkında pek bilgim yoktu, şu videolarınızdan dün biraz bakındım sizin :
Cevabınızdan sonra ve daha önce de pek karmaşık sayılarla ilgilenmediğim için bu konuya sizin videolarınızdan bir bakayım, fikir edineyim izleyip biraz fikir sahibi olayım dedim. Ayrıca videolarınız için de teşekkür ederim, bayağı yardımı dokundu bana.

https://www.youtube.com/watch?v=xXxIZlLU0y4&list=PLgKrBtfZfSX00j2_1feSdVLILMGKMAoiS&index=3

https://www.youtube.com/watch?v=bqlQre1SeXQ&list=PLgKrBtfZfSX00j2_1feSdVLILMGKMAoiS&index=2

örnek 1'iniz için:
f(a+ib)= a-ib

koşul sağlaması için f(a+b) = f(a) + f(b) olmalı:

f(x+iy) = x - iy olsun.
f(p+ir) = p - ir olsun.

f[(x+p) + i(y+r)]= x + p - i(y + r) olur.

f(x+iy) + f(p+ir) = x - iy + p - ir = x + p - i(y+r) olur ve bu da f[(x+p) + i(y+r)]= f(x+iy) + f(p+ir) olur. Böylelikle 1. koşul sağlanmış olur.

2.koşulu sağlaması için f(cx) = c.f(x) olmalı :
Burada sormak isteğim; burdaki c değerini eğer rasyonel seçersek sıkıntı olmuyor dediğiniz gibi ama bu c değerini, karmaşık sayılardan seçersek;

c = x - iy olsun.
f(p + ir) = p- ir olsun.

c.f(p+ir) = (x - iy).(p - ir) = xp - irx - iyp + i²yr = xp - irx - iyp - yr = xp - yr -i(rx + yp) olur.

f[c(p+ir)] = f[(x - iy)(p+ir)] = f[xp - yr -i(rx + yp)] = f[(xp - yr) + i(-rx - yp)] ," f(p + ir) = p- ir "de yerine koyarsak;
f[(xp - yr) + i(-rx - yp)] = xp - yr - i(-rx - yp) olur.
ama xp - yr -i(rx + yp) ≠ xp - yr - i(-rx - yp) yani c.f(p+ir) ≠ f[c(p+ir)] bu eşitsizlik olduğundan 2. koşul sağlanamamış olur.

Burada sormak istediğim (2. koşul için); bu c sayısını karmaşık sayı seçme gibi bir seçeneğimiz var mıdır ? Varsa bu çarpmanın anlamı nedir ? Aslında biz burada iki karmaşık sayıyı çarmıyor muyuz ? Bu rasyonel sayılarda r²'de iki vektörün çarpımı gibi bir şey değil mi ? Yani iki vektörün çarpımının doğrusallığını sorgulamak gibi bir şey değil mi bu ? Bizim burdan çıkarımız nedir, bize ne gibi faydalar sağlıyor bu ? (ayrıca yukardaki işlemlerde gidişat yönünden veya işlemsel hatam varsa yazınız lütfen)

Örnek 2 için : Hocam bu örneği malesef anlıyamadım, biraz açıklar mısınız ? Anlıyamadım şey; mesala "x ve y eksenlerindeki vektörleri sabit bıraksın" nasıl oluyor ? denklem olarak yazabilir miyiz bunu ? "Orijinden geçen diğer doğrular üzerindeki vektörleri de 2 ile çarpsın." bunu da denklem olarak tanımlayabiliyoruz mu ? gibi sorular geldi aklıma.

< Bu mesaj bu kişi tarafından değiştirildi murat5885 -- 9 Eylül 2021; 12:29:8 >
Bu mesaja 1 cevap geldi.

Bu mesajda bahsedilenler: @Can Ozan

M

murat5885

4 yıl

Teğmen

Konu Sahibi

Bugün The Accountant filminin başrolündeki oyuncu gibi karekteri olan bir abimize rast geldim.
Bu abimiz 3x3'teki determinant bulmayı -yukarda Fuat Serkan Orhan hocamız gibi- 4x4'e de uygulayarak aradaki örüntüyü (bağıntıyı) göstermiş. Ve bunu güzel bir şekilde açıklamış.
Ben de kendime sordum: "o her zaman bilindik yöntem ile bunun arasındaki bağıntı nedir ?" diye. Hemen cevabımı aldım.

"MathTheBeautiful" kanalında bu videoları anlatıyor. "Lineer algebra" videoları kanalında mix halinde mevcut. İsteyen sırayla izleyebilir.

Burada 2x2 determinatın nerden geldiğini gösteriyor:
https://www.youtube.com/watch?v=tF3zeNWvXDQ&list=PLlXfTHzgMRULWJYthculb2QWEiZOkwTSU&index=2

Burada 3x3 determinatın denklemini çıkartıyor:

https://www.youtube.com/watch?v=_urtjOIA58o&list=PLlXfTHzgMRULWJYthculb2QWEiZOkwTSU&index=4

Burada 1x1, 2x2, 3x3,4x4 ve nxn determinantlarının arasındaki bağlantıya bi göz kırpıyor:
https://www.youtube.com/watch?v=JR0yeDnxyfY&list=PLlXfTHzgMRULWJYthculb2QWEiZOkwTSU&index=10
Ve burada dananın kuyruğunu koparıyor, 1x1, 2x2, 3x3,4x4 ve nxn arasındaki örüntüyle(bağlantıyla) determinantın bir tanımını yapıyor:

https://www.youtube.com/watch?v=D8rghkxf4eU&list=PLlXfTHzgMRULWJYthculb2QWEiZOkwTSU&index=13
Bu benim için tatmin edici bir tanımdı.
Özetlersem:
Bu bilindik yöntemde, şu videoda uygulandığı gibi;
https://www.youtube.com/watch?v=fWzUwrt1Z0s&t=553s
burada "Neden bir satır ve bir sütün seçip ordaki elamanı tutup, seçtiğimiz satır ve sütünun dışında kalan matrisin determinatı ile bu elemanı çarpıp diğer satırdakilere aynısını yapıp topluyoruz ? " diye merak etmiştim.

"MathTheBeautiful" kanalında gösterdiği gibi 2x2,3x3,4x4.. denklemlerin permüstasyon ile bir ilişkisi olduğunu gösterdi. Aslında ben bunu kombinasyon olarak da düşündüm.
Buradaki amaç: matrisin her satırı için bir sütün seçmemiz olduğudur: 1. satır için bir sütün seçmemiz gerek. Ve seçtiğimiz sütunu artık 2. satırda seçemeyiz, bununda yanında artık o satırı da artık seçmemiz gerek. Bu yüzden seçtiğimiz satır ve sütununun üstünü çiziyoruz.
2.satır içinde aynı şekilde bir sütun seçiyoruz ve bu satır ile sütunu artık seçemiyoruz. Bununda üstünü çiziyoruz. Satır bitene kadar aynı işlemi tekrarlıyoruz. Bu bütün olası seçimlerde bizim nxn determinatımızdaki terimleri veriyor, yani denklemin kendisini.

Mesala 3x3 matrisi için:

satır için 3 sütun'dan birini seçebiliriz.
satır için 2 sütun'dan birini seçebiliriz.
satır için 1 sütun'dan birini seçebiliriz.

Toplamda seçim adedimiz (3'ün 1'lisi).(2'nin 1'lisi).(1'in 1'lisi) =3.2.1 = 3!= 6 oluyor.(Sonuç permüstasyon ama bunun kombinasyondan geldiğini düşündüm.) Bu 3x3determinatın denklemindeki terim sayısı oluyor. Terim sayısını bulabildiğimiz gibi bu determinantının denkleminin her terimini de bulabiliriz.

Bunu, determinatın denklemindeki terimlerden birini alıp "bu terimler teker teker çarpanlarına bakılarak hangi satır ve sütun seçilerek oluşturulmuş" diye bakarsak daha iyi anlaşılacağını düşünüyorum. İlgilenen arkadaşlarımızdan yorumlarını da bekliyorum, düşümcemde hata varsa da lütfen yazınız.
@umit.evleksiz

Bu mesajda bahsedilenler: @murat5885