İ üzeri i nedir ?

15 yıl (16364 mesaj)

Yarbay

Konu Sahibi

İnternette bu sorunun cevapları var ancak pek açıklayıcı değil bilen arkadaşlar yardımcı olursa sevinirim teşekkürler

M

15 yıl (4901 mesaj)

Yarbay

Bunun için öncelikle Euler özdeşliğini blmeniz gerek. Matematiğin gelmiş geçmiş en güzel ispatlarından birine sahiptir bu özdeşlik, oldukça da basittir ama hayran bıraktırır kendine. Neyse, bu idealist kısmı atlıyorum.

Euler özdeşliği karmaşık kuvvetli eksponansiyel fonksiyonu, sinüs ve kosinüsün karmaşık çarpanlı bir kombinasyonuna bağlar. Bu yazdığım şey gözünüzü korkutmasın, görseniz ne kadar basit olduğunu anlarsınız. Hatta, wiki'den bakayım:

< Resime gitmek için tıklayın >

Evet bu kadar basit. e^(ix) = cos x+isinx
Bu durumda i = cos (pi/2) +i. sin(pi/2) olur.
Bu ifade de Euler formülünden, e^i(pi/2) 'ye eşittir. Aslında eşit olduğu tek eksponansiyel bu değildir. pi/2 + 2pi.k (k bir tamsayı olmak üzere) açılarının hepsi için eksponansiyel fonksiyon aynı sonucu verir.

En nihayetinde i^i = [e^i(pi/2)]^i 'ye eşit olmuş olur. Kuvvetin kuvveti ile kuvvetlerin çarpımı eşit olduğundan, i^2.pi/2'ye ulaşmış oluruz, bu da zaten -pi/2 demektir.
Yani sonuç e^pi/2 'ye eşittir ve bunun değeri de: 0.207879576... gibi bir sayı. :) İrrasyonel üzeri irrasyonel bir sayıdır ve kendisi de irrasyoneldir.

Bu mesaja 2 cevap geldi.

T

TuVNeRa

15 yıl (54330 mesaj)

Yarbay

Matematikte bildiğim tek i :
i^ 2 = -1

Bu mesaja 1 cevap geldi.

M

15 yıl (4901 mesaj)

Yarbay

quote:

Orijinalden alıntı: TuVNeRa

Matematikte bildiğim tek i :
i^ 2 = -1

Biz de kendisinden bahsetmekteyiz.

Bu mesaja 1 cevap geldi.

C

ctauren

15 yıl (6751 mesaj)

Yarbay

peki dostum birşey sorcam
biz maxvell a başlamadan önce hal ve yol fonksiyonlarını belirlemek için fizikoda tam dif mi değilmi diye bakıyorduk , yanlış hatırlamıyorsam bunun için euler kriteryumundan bahsedilmişti , değişkenlerin değişim sırasından bağımsızlar tam diferansiyeldir hal fonk dur deyip geçmiştik , burada euler adı geçiyordu ama sadece dif alıyorduk farklı sıra ile değişkenlere , bu o aynı şeymi bağlantısı nedir "e" ile?

A

Ali Kuşçu

15 yıl (5454 mesaj)

Yarbay

quote:

Orijinalden alıntı: M

Bunun için öncelikle Euler özdeşliğini blmeniz gerek. Matematiğin gelmiş geçmiş en güzel ispatlarından birine sahiptir bu özdeşlik, oldukça da basittir ama hayran bıraktırır kendine. Neyse, bu idealist kısmı atlıyorum.

Euler özdeşliği karmaşık kuvvetli eksponansiyel fonksiyonu, sinüs ve kosinüsün karmaşık çarpanlı bir kombinasyonuna bağlar. Bu yazdığım şey gözünüzü korkutmasın, görseniz ne kadar basit olduğunu anlarsınız. Hatta, wiki'den bakayım:

< Resime gitmek için tıklayın >

Evet bu kadar basit. e^(ix) = cos x+isinx
Bu durumda i = cos (pi/2) +i. sin(pi/2) olur.
Bu ifade de Euler formülünden, e^i(pi/2) 'ye eşittir. Aslında eşit olduğu tek eksponansiyel bu değildir. pi/2 + 2pi.k (k bir tamsayı olmak üzere) açılarının hepsi için eksponansiyel fonksiyon aynı sonucu verir.

En nihayetinde i^i = [e^i(pi/2)]^i 'ye eşit olmuş olur. Kuvvetin kuvveti ile kuvvetlerin çarpımı eşit olduğundan, i^2.pi/2'ye ulaşmış oluruz, bu da zaten -pi/2 demektir.
Yani sonuç e^pi/2 'ye eşittir ve bunun değeri de: 0.207879576... gibi bir sayı. :) İrrasyonel üzeri irrasyonel bir sayıdır ve kendisi de irrasyoneldir.

1 bölü olması gerek sonuç.

Bu mesaja 1 cevap geldi.

M

15 yıl (4901 mesaj)

Yarbay

e üzeri eksi pi bölü iki, yani 1 bölü olacak, doğru. Eksiyi bir üst satırda yazmışım da altta yazmamışım niyeyse.

C2H5OH, valla pek anlayamadım desem?

Tam diferansiyel denklem diye bir şey var. Yani iki değişkenli fonksiyonların diferansiyellerini kullanarak, bir diferansiyel denkleme çözüm bulma yöntemi bu. Eğer denklem tamlık şartını sağlıyorsa belli bir teknik kullanarak çözülebiliyor. Ancak i üzeri i ile herhangi bir alakası yok. Euler kriteri de bildiğim kadarıyla sayısal yaklaşım ile alakalı bir durum.

Gerçi Euler'in burnunu sokmadığı matematik alanı yoktur, bilmediğim bir şeyler çıkar kesin.

i üzeri i ile Euler'in alakası var aslında ama eksponansiyel fonksiyon nedeniyle var. Yani o e sayısı, Euler adından gelir. Euler sayısı, Euler sabiti falan diye de geçer. Ve e üzeri ix'li o formül Euler formülü (eşitliği, özdeşliği) diye geçer. Aslında Euler formülü adı altında başka bir şey de var ama millet aynı adla iki farklı şeyi karşılamaya devam ediyor niyeyse. Ancak, e sayısının bulunuşu Euler'e ait değil diye hatırlıyorum. John Napier olması lazım, zaten doğal logaritmanın (ln) n'si de Napier'dan geliyor.

Bu mesaja 1 cevap geldi.

A

Ali Kuşçu

15 yıl (5454 mesaj)

Yarbay

x^x in en küçük değeri bu mudur.

Bu mesaja 2 cevap geldi.

C

ctauren

15 yıl (6751 mesaj)

Yarbay

anladım dostum tam olarakda senin dediğin şeyden bahsetmiştim zaten tam diferansiyel olma koşulu , tabi biz matematik kısım olarak ilgilenmedik fizikokimyada bazı eşitlikler için tam dif olma koşulundan öyle bir söz dilir geçilir. "e" sayısı ile muhtemelen pek ilgisi olmayan sadece euler isminden görünce sormuştum

saygılar

Bu mesaja 1 cevap geldi.

M

15 yıl (4901 mesaj)

Yarbay

Bilmiyorum, ama olabilir.
Yalnız, ifade o kadar basit değil. Öncelikle i^5 de i'ye eşittir. Bu yüzden i yerine i^5 de yazabilirsin.
Bir diğer mesele de, bahsettiğin durumun sıralama özelliğine girmesi. Kompleks sayılar sıralanamazlar ve dolayısıyla hafiften çelişkili bir durum oluşuyor ortada. Niye dersen, x^x için hem kompleks sayıları dahil ediyorsun, hem de sonucun kompleks olmasını kabul etmiyorsun.

Bu mesaja 1 cevap geldi.

M

15 yıl (4901 mesaj)

Yarbay

quote:

Orijinalden alıntı: C2H5OH

anladım dostum tam olarakda senin dediğin şeyden bahsetmiştim zaten tam diferansiyel olma koşulu , tabi biz matematik kısım olarak ilgilenmedik fizikokimyada bazı eşitlikler için tam dif olma koşulundan öyle bir söz dilir geçilir. "e" sayısı ile muhtemelen pek ilgisi olmayan sadece euler isminden görünce sormuştum

saygılar

Anladım. Bahsettiğin durumu bilmiyorum tabi ama bazı diferansiyel denklemlerin elemanter fonksiyonlar cinsinden çözümleri yoktur. İntegral tabloları ya da integral fonksiyonları kullanılarak çözülür veya yaklaşım yapılır. Bu sorun hem diferansiyel denklemin kendisinden hem de integrasyonun basit fonksiyonlarla yapılamamasından kaynaklı olabilir.
Merak ettiğim şey, bahsettiğin durumda diferansiyel denklemlerin sonuç verip vermediği... Yani tam olmayanlar haricindekileri, çözemediğiniz için mi bir kenara bırakıyorsunuz yoksa tam olmayanlar iyi bir modelleme sağlayamadığı için mi? Merak konusu yani...

Ama genel olarak tam diferansiyel denklemlerin çözümleri kolay. Yani en azından bana öyle görünmüştü.

Tek istisna, bazı dif. denklemler tam olmalarına karşın, öyle gözükmüyorlar.

Bu mesaja 1 cevap geldi.

A

Ali Kuşçu

15 yıl (5454 mesaj)

Yarbay

quote:

Orijinalden alıntı: M

Bilmiyorum, ama olabilir.
Yalnız, ifade o kadar basit değil. Öncelikle i^5 de i'ye eşittir. Bu yüzden i yerine i^5 de yazabilirsin.
Bir diğer mesele de, bahsettiğin durumun sıralama özelliğine girmesi. Kompleks sayılar sıralanamazlar ve dolayısıyla hafiften çelişkili bir durum oluşuyor ortada. Niye dersen, x^x için hem kompleks sayıları dahil ediyorsun, hem de sonucun kompleks olmasını kabul etmiyorsun.

x^x sonucunun en küçük olması için x sayısı nedir. x in ne olduğu önemli değil. Muhtemelen i sayısıdır. Düşünmedim de şimdi aklıma geldi.

< Bu mesaj bu kişi tarafından değiştirildi Ali Kuşçu -- 17 Mart 2012; 17:31:50 >

C

ctauren

15 yıl (6751 mesaj)

Yarbay

quote:

Orijinalden alıntı: M

quote:

Orijinalden alıntı: C2H5OH

anladım dostum tam olarakda senin dediğin şeyden bahsetmiştim zaten tam diferansiyel olma koşulu , tabi biz matematik kısım olarak ilgilenmedik fizikokimyada bazı eşitlikler için tam dif olma koşulundan öyle bir söz dilir geçilir. "e" sayısı ile muhtemelen pek ilgisi olmayan sadece euler isminden görünce sormuştum

saygılar

Anladım. Bahsettiğin durumu bilmiyorum tabi ama bazı diferansiyel denklemlerin elemanter fonksiyonlar cinsinden çözümleri yoktur. İntegral tabloları ya da integral fonksiyonları kullanılarak çözülür veya yaklaşım yapılır. Bu sorun hem diferansiyel denklemin kendisinden hem de integrasyonun basit fonksiyonlarla yapılamamasından kaynaklı olabilir.
Merak ettiğim şey, bahsettiğin durumda diferansiyel denklemlerin sonuç verip vermediği... Yani tam olmayanlar haricindekileri, çözemediğiniz için mi bir kenara bırakıyorsunuz yoksa tam olmayanlar iyi bir modelleme sağlayamadığı için mi? Merak konusu yani...

Ama genel olarak tam diferansiyel denklemlerin çözümleri kolay. Yani en azından bana öyle görünmüştü. Tek istisna, bazı dif. denklemler tam olmalarına karşın, öyle gözükmüyorlar.

termodinamikte
tam diferansiyel olanlar ı hal fonksiyonları
tam dif olmayanları ise yol fonksiyonları olarak değerlendirriz

hal fonksiyonları gidilen yoldan bağımsız dır , yol fonksiyonlarında ise gidilen yol ve son gelinen nokta yani değişim miktarı yola bağımlıdır.
buda sıcaklık,entropi,iç enerji,basınç hacim gibi nicelikler birer hal fonksiyonudur. bunların 2 farklı noktalardaki değişim miktarları hal fonksiyonu değilse termodinamik istikrarsız rasgele değerler veren bir bilim olurdu. Mesela entropideki değişim sıcaklıkla kontrol edilmeye çalışılması ve basınç ile kontrol edilmeyi çalışılması farklı sonuçlar sunamaz sunsa zaten düzen(sistem) mümkün olamaz.
Basit tabiriyle bu

bunlardan bahsettikten sonra maxvell ın termodinamik hal eşitliklerinin birbirinden çıkarımı mümkün olmakta
sıcaklık,basınç,hacim ve kütle doğrudan ölçülebilir niceliklerdir
iç enerji , entalpi ve entropi ise bunların arasındaki bağıntılar gibi doğrudan birbirlerine bağlı değillerdir (en kolay şöyle açıklarım PV=nRT gibi basit bağıntılarla bulunamazlar)
işte bunlar hal fonksiyonları olması sayesinde U(iç enerji) , H(entalpi) ,S(entropi) bu niceliklere bağlıyarak diferansiyelleri bize değişim miktarlarını veriyor. gibbs ve helmholtz enerjisi ve aralarındaki tüm bağıntı ve çıkarımları detaylı olarak açıklamam yazı ile mümkün olması zor fakat temel itibari ile ölçebildiğimiz değerlerin hal fonksiyonları olması sayesinde , kimyasal potansiyel, enerji değişimleri ve düzensizlik hakkında yorumda bulunabiliyoruz (fizikçiler kimyacılar ve fiziko kimyacılar yada tüm termodinamikçiler olarak)

edit: son bir ekleme yapayım , örnek denklem verirsem sanırım daha kolay olcak anlaması

(dT/dV)s = -(dP/dS)v (s ve v alt indiz yani onlar sabitken hacimle sıcaklık değişimi= entropi ile basınç değişimine)
buradaki paydada gördüğümüz dV ve dS i değiştirebiliriz (çünkü bunlar hal fonksiyonu yani tam diferansiyel ve birbirleri ile değişim sırasından bağımsız olmaları bize bu hakkı sağlıyor) bu değişimi yaptığımızda bize gibss denklemlerinden iç enerji ile ilgili olanı verir dU=TdS-PdV
yani gibbs ve maxvell denklemlerinin birbiri ile aynı değişim miktarlarını veriyor olması , sistemdeki yukardaki basit niceliklerin değişimlerinin bağlantısız olduğu bilgisini verir. Tüm termodinamik bunun üzerine kuruludur , en basitinden lisede öğrenilen enerjinin korunumu yasası bu sayede mümkündür

edit2: son bir ekleme yapılan iş ve aktarılan iş birer yol fonksiyonudur bunlar sistem içinde izlenen yola bağımlı olarak değişebilirler

< Bu mesaj bu kişi tarafından değiştirildi ctauren -- 17 Mart 2012; 17:52:33 >