İntegral Niye Alana Eşit?

15 yıl (377 mesaj)

Yüzbaşı

Konu Sahibi

evet arkadaşlar soru gayet açık.integral niye alana eşit oluyor.bu soru kafamı çok kurcaladı ama bir türlü çözemedim.
bu arada sakın riemann toplamı demeyin.sonuçta riemann toplamıyla doğrudan bir alakası yok.integralde fonksiyonun integralini aldıktan sonra sınır işlemi yapınca doğrudan alanı veriyor.mucize gibi bir şey.

F

faruk

15 yıl (14379 mesaj)

Yarbay

O dersi alalı 5 yıl oldu ancak Riemann toplamı zaten fonksiyonun dx genişliğinde ve y yüksekliğindeki parçalarının alanları toplamına eşit değil mi? Sorunuza cevap değil lakin Riemann ile doğrudan alakası yok deyip Riemann'ı tarif etmenize binaen yazdım.

Bir de soru tarzınız garibime gitti. Dikdörtgenin iki kenarının çarpımı neden alana eşit gibi bir soru olmuş. Sanki integral apayrı bir matematiksel işlemmiş ve tesadüfen alanı veriyormuş gibi sormuşsunuz.

< Bu mesaj bu kişi tarafından değiştirildi faruk -- 10 Mart 2012; 22:49:39 >
Bu mesaja 1 cevap geldi.

J

jungleboogie92

15 yıl (377 mesaj)

Yüzbaşı

Konu Sahibi

ama kardeş dikdörtgenin kenarlarının çarpımının alana eşit olması bir aksiyomdur.ama integralin alana eşit olması bir aksiyom değil bildiğim kadarıyla.yani alana eşit olmasının bir kanıtı olması lazım.

J

Jeopol

15 yıl (46054 mesaj)

Yarbay

sayısal olarak dusunursen anlayabilirsin

< Bu ileti mobil sürüm kullanılarak atıldı > Bu mesaja 2 cevap geldi.

M

Mekanikizm

15 yıl (2422 mesaj)

Binbaşı

Üniversiteye geçince kanıtlıcaklar merak etme

Bu arada düzeltiyim integral hacmi verir türev alanı bulmada yardımcı olur daha doğrusu bu yollarla hesaplanır ve de hepsinin temeli limite dayanır yani bunların çözümleri limitten gelir integralin sınırlarıyla da fonksiyonun hacmi hesaplanır.

W

WirLieBen

15 yıl (3505 mesaj)

Binbaşı

quote:

Orijinalden alıntı: jeopol

sayısal olarak dusunursen anlayabilirsin

Mesela bende anlayamamışımdır anlatsana.

Bu mesaja 2 cevap geldi.

T

TuVNeRa

15 yıl (54330 mesaj)

Yarbay

Integral

W

Wheatley

15 yıl (9807 mesaj)

Yarbay

quote:

Orijinalden alıntı: WirLieBen

quote:

Orijinalden alıntı: jeopol

sayısal olarak dusunursen anlayabilirsin

Mesela bende anlayamamışımdır anlatsana.

banada

J

Jeopol

15 yıl (46054 mesaj)

Yarbay

konuyu açan arkadaş rieman toplamiyla anlatmayin demiş sayısal yöntemle o şekilde aciklanir.aralığı sıfıra yaklaştırırsaniz integral sonucunu ve egrinin altında kalan alanı bulmuş olursunuz.

bilmeyenler içinde integralin türkçe karşılığı tumlemedir.bu bile yetebilir anlamak için

Bu mesaja 1 cevap geldi.

M

15 yıl (4901 mesaj)

Yarbay

Anladığım kadarıyla Riemann toplamı ile uyguladığınız integral çözme işlemi arasındaki bağlantıyı bilmediğinizden söylüyorsunuz bunu. (Konuyu açan arkadaş için söylüyorum.)
İntegraldeki, ters türev al, sonra alt ve üst sınırları yerine koy, birbirinden çıkart olayı aslında bir çözüm tekniğinden ibarettir. İntegral ters türev demek değildir.
Riemann toplamından yola çıkarak, integralin sonucunu limit almadan kolay bir şekilde bulmak için ters türev alırız ve sonra sınır değerleri yerine koyar çıkartırız. Bunun ispatını bütün analiz kitaplarında bulabilirsiniz. "Analizin Temel Teoremi" diye geçer ve iki kısımdan oluşur. Birinci kısım, integralin türevinin, içerideki fonksiyona eşit olduğunu, (bu kadar basit değil aslında, yazarak göstermek gerek bunu), ikinci kısım ise integralin sonucunun ters türev alıp, sınır değerleri yerine koymayla bulunabileceğini belirtir. İspatları da oldukça basittir.

Ancak merakınız için tebrik ederim. Birçok insan integral ile alan/hacim hesapları arasındaki bağlantıyı veya türevle bağlantısını hiç merak etmeden öğreniyor. Benim için de uzun süre merak konusu olmuştu bu. Gerçekten de mucize gibi bir şeydir integral. Ancak mucize olmasının nedeni görünürde alakasız işlemlerle alanı buluyor olmamız değildir. Yukarıda söylediğim teoremi öğrendiğinizde gayet mucize olmadığını anlayacaksınız.

Asıl mucize, integral gibi zor bir hesabın, ters türev gibi kolay bir yöntemle elde edilebiliyor olmasıdır. Matematik bu tür kolaylıkları pek sağlayan bir bilim değil, değerini bilmek lazım.

Bu mesaja 1 cevap geldi.

J

jungleboogie92

15 yıl (377 mesaj)

Yüzbaşı

Konu Sahibi

quote:

Orijinalden alıntı: M

Anladığım kadarıyla Riemann toplamı ile uyguladığınız integral çözme işlemi arasındaki bağlantıyı bilmediğinizden söylüyorsunuz bunu. (Konuyu açan arkadaş için söylüyorum.)
İntegraldeki, ters türev al, sonra alt ve üst sınırları yerine koy, birbirinden çıkart olayı aslında bir çözüm tekniğinden ibarettir. İntegral ters türev demek değildir.
Riemann toplamından yola çıkarak, integralin sonucunu limit almadan kolay bir şekilde bulmak için ters türev alırız ve sonra sınır değerleri yerine koyar çıkartırız. Bunun ispatını bütün analiz kitaplarında bulabilirsiniz. "Analizin Temel Teoremi" diye geçer ve iki kısımdan oluşur. Birinci kısım, integralin türevinin, içerideki fonksiyona eşit olduğunu, (bu kadar basit değil aslında, yazarak göstermek gerek bunu), ikinci kısım ise integralin sonucunun ters türev alıp, sınır değerleri yerine koymayla bulunabileceğini belirtir. İspatları da oldukça basittir.

Ancak merakınız için tebrik ederim. Birçok insan integral ile alan/hacim hesapları arasındaki bağlantıyı veya türevle bağlantısını hiç merak etmeden öğreniyor. Benim için de uzun süre merak konusu olmuştu bu. Gerçekten de mucize gibi bir şeydir integral. Ancak mucize olmasının nedeni görünürde alakasız işlemlerle alanı buluyor olmamız değildir. Yukarıda söylediğim teoremi öğrendiğinizde gayet mucize olmadığını anlayacaksınız. Asıl mucize, integral gibi zor bir hesabın, ters türev gibi kolay bir yöntemle elde edilebiliyor olmasıdır. Matematik bu tür kolaylıkları pek sağlayan bir bilim değil, değerini bilmek lazım.

teşekkürler M.sorumu bir sen anlamışsın.ben rienmann toplamıyla alan bulmanın mantığını anladım ama niye integral işlemi rienmann toplamıyla aynı sonucu veriyor.bunu anlamamıştım.demek ki anlatacaklarmış.

Bu mesaja 1 cevap geldi.

M

15 yıl (4901 mesaj)

Yarbay

Rica ederim.

Bu mesaja 1 cevap geldi.

N

neverlate

15 yıl (11589 mesaj)

Yarbay

Merhaba arkadasim,

Kendi anladigim sekilde anlatayim:

- Integral alana "tanimindan dolayi" esit. Yani fonksiyonun altindaki alana fonksiyonun integrali deniyor.
- Riemann toplamini sonsuz kucuklukte dikdortgenlerle yaparsaniz da alana ulasirsiniz. Yani fonksiyonun integraline ulasirsiniz.

Simdi soru su olabilir: Integral neden turevin tersine esit ?

- Diyelim ki f(x+h) ile f(x) in arasindaki alani bulmak istiyoruz. Yani A(x+h) - A(x) i bulmak istiyoruz.

Aynen Riemann toplamindaki gibi genisligi h olan bir dikdortgen olusturursak alan f(x)*h ye esit olur.

Yani f(x)=A(x+h)-A(x) / h

Sifira yakin bir h degeri icin bu A(x) in turevinin tanimidir.

Kendi adima cok onemli buldugum bir kurali soyleyeyim:

Once kavramlari nasil tanimladigimiza karar vermeliyiz. Ben yukarida integrali "alan" olarak tanimladim ve "turevin tersine esit oldugunu" kanitladim. Bir baskasi ise integrali "turevin tersi" olarak tanimlayip "alana esit oldugunu" kanitlayabilir.

Oncelikle kendi anladigin sekilde tanimlari yapmalisin. Sonrasi kolay.

Bu mesaja 1 cevap geldi.

J

jungleboogie92

15 yıl (377 mesaj)

Yüzbaşı

Konu Sahibi

quote:

Orijinalden alıntı: neverlate

Merhaba arkadasim,

Kendi anladigim sekilde anlatayim:

- Integral alana "tanimindan dolayi" esit. Yani fonksiyonun altindaki alana fonksiyonun integrali deniyor.
- Riemann toplamini sonsuz kucuklukte dikdortgenlerle yaparsaniz da alana ulasirsiniz. Yani fonksiyonun integraline ulasirsiniz.

Simdi soru su olabilir: Integral neden turevin tersine esit ?

- Diyelim ki f(x+h) ile f(x) in arasindaki alani bulmak istiyoruz. Yani A(x+h) - A(x) i bulmak istiyoruz.

Aynen Riemann toplamindaki gibi genisligi h olan bir dikdortgen olusturursak alan f(x)*h ye esit olur.

Yani f(x)=A(x+h)-A(x) / h

Sifira yakin bir h degeri icin bu A(x) in turevinin tanimidir.

Kendi adima cok onemli buldugum bir kurali soyleyeyim:

Once kavramlari nasil tanimladigimiza karar vermeliyiz. Ben yukarida integrali "alan" olarak tanimladim ve "turevin tersine esit oldugunu" kanitladim. Bir baskasi ise integrali "turevin tersi" olarak tanimlayip "alana esit oldugunu" kanitlayabilir.

Oncelikle kendi anladigin sekilde tanimlari yapmalisin. Sonrasi kolay.

çok teşekkürler neverlate.şimdi anladım.harika açıklamışsın.çok akıllıcaymış gerçekten.öğrendim sonunda.

Bu mesaja 1 cevap geldi.

M

mihimihi

15 yıl (596 mesaj)

Çavuş

Şu şekilde düşününce de belki yol gösterebilir.

bir fonksiyon oldun sabit ve 1 ile 2 arasında f(x)=2 olsun diyelim. integral, 1 ile 2 aralığında alınca dx kadar küçük parçaların toplamı halinde düşünürsek ve bunu alt sınırdan üst sınıra tararsak alanı elde etmiş oluruz.
Şöyle düşünelim. yukarıdaki fonksiyonda 1 den 2 ye integral olursa eğer 1 ile 2 arasında sonsuz parça olursa ve o parçaların hepsi toplanırsa sonuç olarak sonsuz sayıda ve 2 yüksekliğinde parçaların toplamı olacaktır. sonsuz küçük ve h yüksekliğindeki bu parçalar toplanırsa o kısımdaki x ekseni ile arada kalan alanı vermesi normaldir.