quote:

Orijinalden alıntı: :AlacaKaranlık:

1. soru
Türevle çözerdim, sen hatırladığım kadarıyla 11. sınıfa yeni geçecektin bu yıl. Türev bilmiyorsundur belki daha. ("Üssü bir eksiltip başa geçirme" kısmını demiyorum.) Ama türevle daha kısa, daha kolay çözüldüğünü de söyleyeyim.


Bir parabol, x eksenine teğetse, bu parabolün 2. dereceden denkleminin diskriminantı nedir? Sıfır. Yani denklemin birbirine eşit iki kökü vardır ki parabol x eksenini kesmiyor, tek 1 noktada teğet oluyor.

Denklemin diskriminantına bakalım. ("Delta" işaretini A ile göstereceğim.)

A = b^2 - 4ac

A = (a-2)^2 - 4.(-1).(2a-4)

A = a^2 - 4a + 4 + 4(2a-4) = a^2 - 4a + 4 + 8a - 16 = a^2 + 4a - 12

A = 0 olması gerektiğini söylemiştik.

a^2 + 4a - 12 = 0

a = -6 ve a = 2 olur.

Şimdi -6 mı, 2 mi yanıt? Nasıl anlayacağız? Soruda parabolün x ekseninin negatif tarafına teğet olduğunu söylemiş. Buradan, parabolün tepe noktasının apsisin (x'inin, yani r=-b/2a) negatif olacağını söyleyebiliriz, değil mi?

a = -6 için, y = -x^2 - 8x -16 olur. Bunun da r'si 8/-2 = -4 olur. Bak, tepe noktasının apsisi negatif oldu, değil mi? 2 verdiğimizde pozitif olacaktı bu sayı. O zaman yanıt -6'dır.

quote:

Orijinalden alıntı: :AlacaKaranlık:

2. soruda köklü bir şeyler buldum. Ya üçgeni yanlış oturttum ya da işlem hatası, her neyse. Onunla sonra ilgileniriz.

---

4. soru
Bir parabolün bir noktaya göre simetriği, parabolün tepe noktasının o noktaya göre simetriğini tepe noktası kabul eden paraboldür.

f(x) = x^2 - 4x - 3 parabolünün tepe noktasını bulalım.

T(r,k) = T(-b/2a , 4ac-b^2 / 4a)

T(4/2 , 4.1.(-3) - 16 / 4)

T(2,-7) olur, değil mi?

Bu T(2,-7) noktasının, A(1,-1) noktasına göre simetriğini alacağız.

* T(2,-7) --------------- = --------------- * A(1,-1) --------------- = --------------- * T'(a,b)

2+a / 2 = 1 ise, a = 0 olur.
-7+b / 2 = -1 ise, b = 5 olur. O zaman tepe noktasının A noktasına göre simetriği T'(0,5)'dir.

Parabolün noktaya göre simetriği ise, T'(0,5) noktasını tepe noktası kabul eden paraboldür. Bu simetri parabolü g(x) olsun.

g(x) = a(x-r)^2 + k

g(x) = a(x-0)^2 + 5

g(x) = ax^2 + 5

Gelelim a'ya. a, parabolün kollarının nereye doğru olduğunu belirler.

Soruda verilen parabolün baş katsayısı +1, değil mi? Pozitif yani. Buna göre parabolün kolları yukarı doğrudur. Biz, bunun simetriğini alıyoruz. O zaman parabolün kolları aşağı doğru olmaz mı? Peki parabolün kollarının aşağı olması sonucu baş katsayı ne olurdu? Negatif. O zaman baş katsayımız -1 olur.

a = -1 ise, g(x) = -x^2 + 5 olur.

quote:

Orijinalden alıntı: :AlacaKaranlık:

5. soru
Dostum, bu soru aslında matematik değil de 12. sınıftaki analitik geometri dersinde "Konikler" başlığı altında incelenen "Parabol" konusuyla ilgili. Oradaki p, parabolün parametresidir. Şimdi doğrunun parabole teğet olmasıyla ilgili bir konik formülü vardı da, unuttum. (Zaten koniklerde çok formül var, unutuyor insan.)

Türev bildiğini söylüyorsun. 1. türevin geometrik yorumuyla çözelim o zaman soruyu.

Parabol denkleminin x'e göre 1. türevini alalım. y' = 4x/p olur.

Doğru denklemini de şöyle düzenleyelim: y = 2x-3. Bu doğrunun eğimi x'in katsayısından 2'dir, değil mi?

Doğru, parabole teğetmiş. Diyelim, doğru parabole x=a noktasında teğet olsun. Yani değme noktamızın apsisi x=a olsun.

Parabol denkleminin x'e göre 1. türevinde x yerine a koyarsak, parabole x=a'da teğet olan y = 2x-3 doğrusunun eğimi, yani 2'yi elde etmez miyiz? 1. türevin geometrik yorumu bunu diyor.

x = a için y' = 4x/p = 4a/p olur. Bu da 2'ye eşittir. 4a/p = 2 yani.

a = p/2 olur.

Parabol denkleminde x yerine a koyalım. x = a için y = 2x^2/p = 2a^2/p olur.

Doğru denkleminde x yerine a koyalım. x = a için y = 2x-3 = 2a-3 olur.

Bu ikisi eşit değil midir? Çünkü doğrumuz, parabole teğet. Aynı apsislerden (a) bahsediyoruz. Eee, bu apsisleri denklemlerde yerine koyunca bulacağımız ordinat da aynı olmaz mı? Hatta analitik düzlem üzerinde düşün. x=a'dan dik çıkıp, parabole gitsen, aynı zamanda doğruya da gitmiş oluyorsun. Çünkü doğrumuz, parabole teğet. Tam o vardığın noktada doğru parabole değiyor.

2a^2 / p = 2a-3 olur o zaman. Burada da a yerine p/2 koyalım.

2p^2/4 / p = p - 3

p^2/2 = p^2 - 3p

p^2 = 2p^2 - 6p

-p^2 = -6p

p^2 = 6p

p = 6 olur.

p'den de a'ya, yani değme noktasının apsisine ulaşabiliriz.

a = p/2

a = 6/2

a = 3 olur.

quote:

Orijinalden alıntı: ATaİk_

Anladım sayılır da bu çıkarmı böyle ?

Benim incelediğim senelerde bu akdar kastırmamışlardı,/

Diğerlerini yapabilir misin?!


Çok teşekkür ederim

quote:

Orijinalden alıntı: :AlacaKaranlık:

2. soru için:

< Resime gitmek için tıklayın >



Nerede hata yapıyorum? Kesin yine dikkatsizlik yapmışımdır.

quote:

Orijinalden alıntı: schrocat

3. soruda y'nin karesi olmayacak.
Soru, y=Xkare - 2(m-2)X..... diye olunca cevabı çıkıyor.
Ama ben türevle yaptım.

Bu parabolün tepe noktasının koordinatı (m-2, 4m+1) çıktı.
m'ye değer ver: m=3 için A(1, 13) m=4 için B(2, 17)
Bu iki noktadan geçen doğrunun deklemi de y=4X+9

quote:

Orijinalden alıntı: schrocat

3. soruda y'nin karesi olmayacak.
Soru, y=Xkare - 2(m-2)X..... diye olunca cevabı çıkıyor.
Ben türevle yaptım. (Türevsiz yapmayı bilmiyorum)

Bu parabolün tepe noktasının koordinatı (m-2, 4m+1) çıktı.
m'ye değer ver: m=3 için A(1, 13) m=4 için B(2, 17)
Bu iki noktadan geçen doğrunun deklemi de y=4X+9